微积分作为高等数学的基石，其公式体系构成了分析变化与累积的强大工具。理解并熟练运用这些公式，不仅有助于解决复杂的科学工程问题，更能深化对世界连续性与动态性的认识。本文旨在系统梳理微积分中的核心公式，为学习者提供一份清晰的参考指南。
一、极限与连续性基础
极限概念是微积分的逻辑起点。重要极限包括：当x趋近于0时，sinx/x的极限为1；(1+1/x)^x在x趋于无穷时的极限为e。连续性判定遵循函数在某点的极限值等于其函数值的基本原则。
二、微分学核心公式
导数的定义基于极限：函数f(x)在点x处的导数f'(x)等于Δx趋于0时，[f(x+Δx)-f(x)]/Δx的极限。基本初等函数导数公式需牢记：幂函数x^n的导数为nx^(n-1)；指数函数e^x的导数仍为e^x；自然对数lnx的导数为1/x。三角函数方面，sinx的导数为cosx，而cosx的导数为-sinx。
求导法则同样关键。和差法则表明，(u±v)'=u'±v'。乘积法则表述为(uv)'=u'v+uv'。商法则指出(u/v)'=(u'v-uv')/v²。链式法则处理复合函数：若y=f(u)且u=g(x)，则dy/dx=(dy/du)·(du/dx)。
三、积分学基本框架
不定积分是微分的逆运算。幂函数积分公式为∫x^n dx = x^(n+1)/(n+1) + C (n≠-1)。∫1/x dx = ln|x| + C。指数函数∫e^x dx = e^x + C。三角函数积分中，∫cosx dx = sinx + C，∫sinx dx = -cosx + C。
定积分计算依赖牛顿-莱布尼茨公式：若F(x)是f(x)的原函数，则∫_a^b f(x)dx = F(b)-F(a)。积分技巧包括换元积分法与分部积分法，后者公式为∫u dv = uv - ∫v du。
四、多元函数微分
偏导数衡量多变量函数沿某一坐标轴的变化率。全微分公式df = (∂f/∂x)dx + (∂f/∂y)dy。方向导数描述函数沿特定方向的变化速率。梯度向量∇f由所有偏导数构成，指向函数增长最快的方向。
五、重积分与曲线曲面积分
二重积分用于计算平面区域上的累积量，直角坐标下表示为∬_D f(x,y) dxdy。三重积分拓展到空间区域。曲线积分分为对弧长与对坐标的积分，格林公式建立了平面区域二重积分与其边界曲线积分之间的联系。
六、无穷级数展开
泰勒公式将函数表示为幂级数：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)²/2!+…+R_n(x)。麦克劳林级数是泰勒级数在a=0时的特例。常见函数的幂级数展开如e^x=1+x+x²/2!+x³/3!+…，收敛区间为全体实数。
七、微分方程初步
一阶微分方程中，可分离变量型通过分离变量后积分求解。齐次方程可通过变量代换化为可分离型。一阶线性微分方程y'+P(x)y=Q(x)的通解公式为y=e^(-∫Pdx)[∫Qe^(∫Pdx)dx+C]。
掌握这些公式并非终点，理解其内在联系与几何物理意义更为重要。公式的记忆应通过实际问题的反复应用来巩固，例如利用导数求极值、用积分计算面积体积。建议学习者建立公式推导笔记，从源头理解每个等式的来龙去脉，从而在复杂问题面前能灵活选用恰当工具，真正实现从公式记忆到数学思维培养的跨越。